تعديل فجوة الحزمة وانقلاب السكان
تقريب Born-Oppenheimer
في هذا الإطار ، تعتبر نوى / أيونات البلورة “ثابتة” في مواقعها الشبكية الخاصة بها. يتم تبرير هذا بشكل حدسي من خلال ملاحظة أن الإلكترونات أخف بكثير من نواتها الخاصة بحيث يمكن اعتبار الديناميات الإلكترونية فورية في النطاق الزمني للنووية. يسمح لنا هذا الظرف بفصل الأول عن الثاني.
طيف طاقة الإلكترونات في بلورة مثالية
بالنسبة لأشباه الموصلات (عند درجة حرارة الغرفة) ، قانون توزيع الطاقة ε من إلكترون واحد يتبع إحصائية بولتزمان. على النقيض من ذلك ، فإن دورية الطاقة الكامنة التي تمثل توزيع النوى تحدد بنية النطاق النموذجية لطاقة الطيف التي تتميز بوجود فجوة نطاق تكون في أي حال أقل من تلك الموجودة في العوازل. حيلة أخرى غير معروفة هي تطبيق مجال مغناطيسي ثابت ومتجانس. كما هو موضح بالفعل1يحدث الانتقال شبه المعدني إلى أشباه الموصلات بفضل تطبيق مجال مغناطيسي شديد الكثافة. تذكر أن شبه المعدن له فجوة نطاق صفرية ؛ ومع ذلك ، فإن كثافة إلكترونات التوصيل أقل بكثير من كثافة المعدن.
يرجع تعديل فجوة النطاق بعد تطبيق المجال المغناطيسي H (أو الحث B) إلى تفاعل العزم المغناطيسي ثنائي القطب µ من الإلكترون مع H. بينما يُرجع توزيع Boltzmann عدد المهن ذات المستوى العام ε لإلكترون واحد ، توزيع هوفستاتر2 يعبر عن شدة المجال المغناطيسي كدالة لـ ε (يتم تسوية المتغيرات بشكل مناسب). هذا التوزيع هو فراكتل ، والمعروف باسم فراشة هوفستاتر (الشكل 1) ، الذي تم تأكيد وجوده مؤخرًا في الجرافين3.
هذا الاكتشاف مهم لأن النموذج الذي اقترحه هوفستاتر مجرّد بمعنى أنه يشير إلى بلورة مثالية ثنائية الأبعاد ؛ بالمناسبة ، الجرافين عبارة عن بلورة مكونة من طبقة أحادية الذرة من ذرات الكربون. ببساطة ، السُمك هو الحجم الذري. لذلك ، لجميع الأغراض (العيانية) ، الجرافين هو بلورة ثنائية الأبعاد. يتم تمثيل النطاقات المسموح بها بواسطة المقاطع الأفقية في الرسم البياني الذي يوضح نموذج Hofstadter. يتم تحقيق تطبيع المجال المغناطيسي من خلال معلمة بلا أبعاد α متغير في الفترة [0, 1]. لتوضيح معناها ، دعونا نتبع 2-4 من خلال السيناريوهات التالية:
- حركة إلكترون في بلورة مثالية (في حالة عدم وجود مجال مغناطيسي)
- حركة إلكترون في مجال مغناطيسي ثابت ومتجانس.
هاتان مشكلتان معروفة حلولهما بدقة. في الحالة الأولى ، يتم وصف الإلكترون كموميًا بواسطة ما يسمى موجة بلوخ (موجة مستوية يتم تعديلها في السعة بواسطة وظيفة لها نفس تواتر الشبكة البلورية). في الحالة 2 ، من ناحية أخرى ، يمكن وصف الإلكترون بشكل كلاسيكي عن طريق حل معادلة الحركة التي قدمها قانون نيوتن الثاني لأن الجسيم يخضع لقوة لورنتز والتي تتم كتابة المعنى الواضح للرموز:
حيث ب0 هو المجال المغناطيسي الثابت والمتجانس ، بينما ج هي سرعة الضوء في الفراغ. الحركة دورية ، مع فترة تيب يتناسب مع المجال. موجة بلوخ دورية أيضًا ، مع فترة تيبلوخ. لذلك ، تعطي المعلمة سالفة الذكر α فترتين مميزتين ومفتاح الحل ، المحدد على النحو التالي:
في حالة عدم وجود مجال مغناطيسي ، فهو كذلك α = 0 بينما α = 1 يعني تيب = تيبلوخ، أي أن حركة الإلكترون في المجال المغناطيسي لها نفس فترة موجة بلوخ. عدديًا ، هذا يتوافق مع مجال مغناطيسي بترتيب تريليونات Gauss. أيضًا ، يمكن أن تكون النسبة (2) منطقية أو غير منطقية. لو α هو منطقي ، أي إذا كان هناك عددان صحيحان p ، q مثل α = ع / ف، ثم هناك ف العصابات المسموح بها. خلاف ذلك ، يتوقع المرء عدم السماح بأي نطاقات. في الواقع ، يتم تقليل الأخير إلى ما يُعرف في الطوبولوجيا باسم مجموعة كانتور.
النظام البارامغناطيسي للدوران النووي للبلور
لقد تركنا حركة النوى / الأيونات. إنهم يصنعون تذبذبات صغيرة حول وضع توازن مستقر بسبب درجة الحرارة ، ولكن من المثير للاهتمام مناقشة تأثير العزم ثنائي القطب المغناطيسي. كما هو مذكور في الإصدار السابق ، فإن تعديل فجوة النطاق في أشباه الموصلات يرجع إلى تفاعل العزم المغناطيسي ثنائي القطب للإلكترون مع B0. من الديناميكا الكهربية الكلاسيكية ، نعلم أن الجسيم به شحنة كهربائية ف والزخم الزاوي L ، له عزم مغناطيسي ثنائي القطب:
والتي تميل على هذا النحو إلى توجيه نفسها بعد تطبيق مجال مغناطيسي (البارامغناطيسية). كما هو معروف من ميكانيكا الكم5، الجسيمات دون الذرية لها زخم زاوي جوهري أو دوران بالإضافة إلى الزخم الزاوي L. يرتبط الدوران بعزم ثنائي القطب المغناطيسي ، كما هو الحال في المعادلة (1) ، بشرط أن يتغير عامل التناسب في المعادلة (3). حتى اللفات النووية تميل إلى توجيه نفسها بعد تطبيق مجال مغناطيسي خارجي. في أبسط الحالات ، يمكن للمكون وفقًا لاتجاه معين للزخم الزاوي المغزلي أن يفترض قيمتين فقط (متساويتان في الحجم ولكن بإشارة معاكسة) وبالتالي اتجاهين محتملين فقط. هذه هي حالة الإلكترون أو ما يسمى بأنظمة الدوران 1/2. بافتراض أن النوى / الأيونات ثابتة في العقد الشبكية ، لدينا أن درجات الحرية الوحيدة هي تلك التي تعبر عن التفاعل مع المجال المغناطيسي الخارجي ، الموصوف بمصطلح الطاقة الكامنة. في الحالة الخاصة لنظام من نوى الدوران 1/2 مغمورة في مجال مغناطيسي ثابت ومتجانس B0، ننتهي بمستويين من الطاقة: المستوى الأساسي (أي الحد الأدنى من الطاقة) الذي يتوافق مع ثنائيات الأقطاب المغناطيسية الموجهة في اتجاه B0، والمستوى المثير حيث يتم توجيه ثنائيات الأقطاب في الاتجاه المعاكس. من المتوقع وجود عدد مجهري من النوى على المستوى الأساسي لأن النظام يميل إلى احتلال الحد الأدنى من حالة الطاقة الكامنة (“الأكثر اكتظاظًا”).
ماذا يحدث إذا عكسنا المجال المغناطيسي ب على الفور0 (عن طريق تدوير المغناطيس بزاوية 180 درجة)؟ يصبح المستوى الأساسي هو المستوى المثير والعكس صحيح حيث يتم توجيه ثنائيات الأقطاب في الاتجاه المعاكس في تكوين المجال الجديد. إنه غير نمطي لأن المستوى الأساسي هو الآن الأقل كثافة سكانية. يتم تبرير ذلك من خلال ميكانيكا الإحصاء الكمومي عن طريق عكس علامة درجة الحرارة المطلقة6. ومع ذلك ، فإن الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية تقترح أيضًا نفس النتيجة. في الواقع ، إذا نظرنا إلى إحصائية بولتزمان
توزيع:
أين كب هو ثابت بولتزمان و أ هو ثابت التطبيع. نجد أن المستويات الأكثر إثارة في الطاقة تقل احتمالية احتلالها ، كما هي تي> 0. إذن ، العلامة المقلوبة هي جهاز رياضي لتبرير الوضع المادي الشاذ لأن الحالات الديناميكية الحرارية مع تي < 0 غير مستقر: يميل النظام إلى الاستعادة تي> 0. خاصية أخرى غريبة من الدول ذات تي < 0 هو أن الطاقة الداخلية أكبر من تلك التي لديها تي> 0. الأول يعطي الطاقة في الثانية عن طريق وضع الجسم مع T <0 في تلامس حراري مع جسم عند T> 0. وبعبارة أخرى ، الأجسام ذات تي < 0 أكثر سخونة من أولئك الذين لديهم تي> 0. لما سبق ، إذا كان نظام النوى / الأيونات لبلورنا المثالي هو نظام الدوران 1/2 ، عن طريق تطبيق مجال مغناطيسي ب0، لدينا تكوين لمستويات الطاقة كما هو موضح في الشكل 2.
يؤدي الدوران الفوري للمغناطيس إلى انعكاس السكان ، مما يؤدي إلى حالة مستقرة مع تي < 0. بهذه الطريقة ، سيطلق نظام الدوران النووي كمية معينة من الحرارة إلى الشبكة. يوضح الشكل 2 أن الفرق بين المستويات هو ح، أين ν له أبعاد التردد. هذا الاختلاف يتناسب مع ب0. من الناحية الكمية ، هذا يتوافق مع انبعاث فوتون للتردد ν ذلك ، للحصول على قيم مناسبة لـ ب0، في الطيف المرئي. من الناحية المثالية ، قمنا بصنع مصباح LED في الطيف المرئي لقيم مناسبة لـ B0. لسوء الحظ ، لا يفسح الجرافين نفسه لمثل هذا التجسيد لأن نوى الكربون لها صفر دوران. ومع ذلك ، إذا أخذنا نظيرها الثقيل وغير المشع الكربون 13 (13ج) ، نرى من قاعدة معروفة في الفيزياء النووية أن نواتها تدور بمقدار 1/2 ، لذلك يبدو أنها المرشح المثالي.
مراجع
1Davydov AS ، تيوريا ديل سوليدو. محرر Riuniti.
2هوفستاتر ، DR ، “مستويات الطاقة والوظائف الموجية لإلكترونات بلوخ في المجالات المغناطيسية المنطقية والتغريية”. مراجعة البدنية ب 14 ، ن. 6.
3يانغ دبليو ، تشانغ جي هوفستاتر فراشة في الجرافين.
4هوفستاتر ، دكتور ، جوديل ، إيشر ، باخ: جديلة ذهبية أبدية.
5ساكوراي جيه ، ميكانيكا الكم الحديثة.
6Colozzo M. الديناميكا الحرارية لأنظمة الدوران في البلورات البارامغناطيسية.
7ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة
اكتشاف المزيد من مجلة الإخلاص
اشترك للحصول على أحدث التدوينات المرسلة إلى بريدك الإلكتروني.
